2の倍数…1の位の数が偶数。
3の倍数…各位の和が3の倍数。
4の倍数…下2桁の数が4の倍数。
5の倍数…1の位の数が0か5。
6の倍数…2の倍数かつ，3の倍数。
7の倍数…1の位から3桁ずつに区切った数を，順に足し引きした数が7の倍数。
8の倍数…下3桁が8の倍数。
9の倍数…各位の和が9の倍数。
10の倍数…1の位の数が0。
11の倍数
①1の位から2桁ずつに区切った時，その和が11の倍数。
②各位の数を順に足し引きした数が，11の倍数。
12の倍数…3の倍数かつ4の倍数。
結論が知りたい方が多いと思いますので，有名な見分け方の一覧を記しておきます。
よく，「倍数の見分け方はどこまで覚えた方がいいのか」という質問を受けますが，
全て覚える必要はまったくありません。
ただ，マーカーが引いてある内容は，受験に向けて覚えておくべき内容です。
はっきり言うと，「覚えていないと解けない」という問題はありません。
ただ，「覚えておくと速く解ける」という問題は多く存在します。
この記事では，マーカー部分の倍数判別法について，
見分け方を具体例を用いて解説していきます。
2の倍数の見分け方
２の倍数の条件は「1の位の数が偶数」です
問題
\(23658が2の倍数かどうか判別しなさい。\)
見分け方
\(23658\)の1の位の数は偶数なので，\(23658は２の倍数。\)
3の倍数の見分け方
3の倍数の条件は「各位の和が3の倍数である数は，3の倍数」です。
問題
\(365361が3の倍数かどうか判別しなさい。\)
見分け方
\(365361の各位の和を計算すると，\)
\(3+6+5+3+6+1=24\)
各位の和である24は3の倍数なので，
\(365361は3の倍数。\)
4の倍数の見分け方
4の倍数の条件は「下2桁の数が4の倍数である数は，4の倍数である」です。
問題
\(456556が4の倍数かどうか判別しなさい。\)
見分け方
\(456556\)の下２桁である56は４の倍数なので，
\(456556は4の倍数\)
5の倍数の見分け方
5の倍数の条件は「1の位の数が0か5である数は，5の倍数である」です。
問題
\(179825\)が5の倍数かどうか判別しなさい。
見分け方
\(179825\)の1の位は5なので，
\(179825は5の倍数\)
6の倍数の見分け方
6の倍数の条件は「2の倍数かつ，3の倍数」です。
つまり，「1の位の数が偶数」かつ「各位の和が3の倍数」
の場合は6の倍数ということになります。
問題
\(365352が6の倍数かどうか判別しなさい。\)
見分け方
\(365352の1の位が偶数。\)
\(各位の和を計算すると，\)
\(3+6+5+3+5+2＝24であり，3の倍数\)
\(よって，365352は\)2の倍数かつ3の倍数なので，
\(6の倍数。\)
9の倍数の見分け方
9の倍数の条件は「各位の和が9の倍数」です。
\(149301が9の倍数かどうか判別しなさい。\)
\(各位の和を計算すると，\)
\(1+4+9+3+0+1＝18\)
各位の和が9の倍数なので，\(149301は9の倍数。\)
10の倍数の見分け方
10の倍数の条件は「1の位の数が0」です。
問題
\(543210が10の倍数かどうか判別しなさい。\)
見分け方
\(543210\)の1の位は0なので，
\(543210は10の倍数\)
11の倍数の見分け方
11の倍数は，有名な見分け方が2通りありますが，
どちらか一方だけ覚えれば大丈夫です。
また，11の倍数については中学受験では必須ですが，
高校受験，大学受験では覚えなくても大丈夫です。
①1の位から2桁ずつに区切った時，その和が11の倍数。
②各位の数を順に足し引きした数が，11の倍数。
問題
\(384758が11の倍数かどうか判別しなさい。\)
見分け方①
「1の位から2桁ずつに区切った時，その和が11の倍数であれば11の倍数」
\(38+47+58＝143\)
143は11の倍数なので，\(384758は11の倍数。\)
見分け方②
「各位の数を順に足し引きした数が，11の倍数」
\(+3-8+4-7+5-8=-11\)
交互に足し引きした結果である-11は11の倍数なので，
\(384758は11の倍数。\)
役に立つ問題の例
倍数の見分け方を覚えていることで，
最も役に立つのは「数字の並べ替え問題」です。
(高校では順列といいます)
例えば，このような問題が出たとしましょう。
1,2,3,4,5の数字が書かれたカードを1枚ずつ用意します。
このカードから3枚を選んで3桁の数字を作るとき，
3の倍数は何通り作れるか書きなさい。
3の倍数になる条件は「各位の和が3の倍数」なので，
まずは和が3の倍数になる組み合わせを探す。
↓
「1,2,3」「2,3,4」「3,4,5」「1,3,5」の時，和が3の倍数になる。
↓
仮に「1,2,3」の数字を選んだときは，
「123」「231」「312」「321」「132」「213」
の6通りの数字を作ることができる。
↓
「2,3,4」「3,4,5」「1,3,5」についても，
それぞれ6通りの数字を作ることができるので，
答えは24通り。
全ての数字(今回は60通り)について，3で割れるかを
1つ1つ確認する必要があります。
倍数になる条件を覚えておいたほうが速くて正確でしょう。
倍数の条件を暗記する以外にはありません。
さいごに
「なぜこのようなことが成り立つのか」という証明までできることが理想です。
しかし，それと同じくらいに
「倍数の見分け方を覚えて，何の倍数かを即時に判断をする」ことや
「倍数になる条件から逆算して，求められている数字を作る」ということも重要です。
最後に，冒頭の画像で載せた\(360360\)という数字ですが，
2～12すべての倍数です！
\(360360\)が本当に2～12の倍数かどうか，
本記事で紹介した内容をもとに，是非確かめてみてください。
この記事を書いた人
デンヘキ
このサイトは，高校・大学時代の同級生「デン」と「ヘキ」の2人組で運営しています。
どちらも10年以上塾講師として働いているので，その経験を生かして皆様にいろいろとお伝えできたらいいなと思っています。
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