\( ax^2 +bx+c=0 (a≠0)\)の解は
\( x = \displaystyle\frac{-b±\sqrt{ b^2-4ac }}{2a}\ \)
2次方程式の解の公式は，中学3年生で習う重要公式です。
様々な証明方法がありますが，
この記事でも最も有名な平方完成の証明を載せておきます。
解の公式の証明
\begin{align}
ax^2+bx+c & = 0 \\[10pt]x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}& = 0 \\[10pt]x^2+\frac{bx}{a}& = -\frac{c}{a} \\[10pt]x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}& = -\frac{c}{a} +\frac{b^2}{4a^2}\\[10pt]\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2& =\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\[10pt]\left(x-\frac{b}{2a}\right)& =±\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\[10pt]x& =-\frac{b}{2a}±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[10pt]x& =\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[10pt]\end{align}
ax^2+bx+c & = 0 \\[10pt]x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}& = 0 \\[10pt]x^2+\frac{bx}{a}& = -\frac{c}{a} \\[10pt]x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}& = -\frac{c}{a} +\frac{b^2}{4a^2}\\[10pt]\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2& =\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\[10pt]\left(x-\frac{b}{2a}\right)& =±\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\[10pt]x& =-\frac{b}{2a}±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[10pt]x& =\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[10pt]\end{align}
公式の証明は必要？
個人的な意見ですが，近年「公式の成り立ちを理解しているか」という
ことを問う問題が増えてきているように思えます。
正直，筆者が受験生だったころは，
公式なんてただ覚えておけばよい(公式さえ覚えて計算さえできれば，証明をできる必要がない)
という印象でした。
ただ，徐々に公式を証明させるような問題が徐々に増えてきているように感じています。
現に私が教えている地域では，「解の公式の証明を書きなさい」
という問題が多くの中学校で出題されていますし，
実際の入試でも公式の成り立ちが出てきています。
まずは使い方をマスターするのが第一ですが，証明もできるようになるといいですね。