\( ax^2 +bx+c=0 (a≠0)\)の解は
\( x = \displaystyle\frac{-b±\sqrt{ b^2-4ac }}{2a}\ \)
2次方程式の解の公式は，中学3年生で習う重要公式です。
様々な証明方法がありますが，
この記事では最も有名な平方完成の証明を載せておきます。
解の公式の証明
\begin{align}
ax^2+bx+c & = 0 \\[10pt]
x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}& = 0 \\[10pt]
x^2+\frac{bx}{a}& = -\frac{c}{a} \\[10pt]
x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}& = -\frac{c}{a} +\frac{b^2}{4a^2}\\[10pt]
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2& =\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\[10pt]
\left(x+\frac{b}{2a}\right)& =±\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\[10pt]
x& =-\frac{b}{2a}±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[10pt]
x& =\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[10pt]
\end{align}
ax^2+bx+c & = 0 \\[10pt]
x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}& = 0 \\[10pt]
x^2+\frac{bx}{a}& = -\frac{c}{a} \\[10pt]
x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}& = -\frac{c}{a} +\frac{b^2}{4a^2}\\[10pt]
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2& =\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\[10pt]
\left(x+\frac{b}{2a}\right)& =±\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\[10pt]
x& =-\frac{b}{2a}±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[10pt]
x& =\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[10pt]
\end{align}
公式の証明は必要？
個人的な意見ですが，近年「公式の成り立ちを理解しているか」という
ことを問う問題が増えてきているように思えます。
正直，筆者が受験生だったころは，
公式なんてただ覚えておけばよい(公式さえ覚えて計算さえできれば，証明をできる必要がない)
という印象でした。
ただ，徐々に公式を証明させるような問題が増えてきているように感じています。
現に私が教えている地域では，「解の公式の証明を書きなさい」
という問題が多くの中学校で出題されていますし，
実際の入試でも公式の成り立ちが出てきています。
まずは使い方をマスターするのが第一ですが，証明もできるようになるといいですね。
この記事を書いた人
デンヘキ
このサイトは，高校・大学時代の同級生「デン」と「ヘキ」の2人組で運営しています。
どちらも10年以上塾講師として働いているので，その経験を生かして皆様にいろいろとお伝えできたらいいなと思っています。
第1章
中学数学
6本- 1-1【中学数学】図形の重要公式一覧。面積から証明条件，三平方の定理まで。
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- 1-3中学生の範囲で三平方の定理を証明！よく出る4パターン！
- 1-4【倍数判定法一覧】算数・数学受験に必須な2,3,4,5,6,9,10,11の倍数の見分け方を具体的に解説！
- 1-5【証明のテンプレ】整数倍の証明方法
- 1-6【2次方程式】解の公式証明(平方完成の式)いま読んでいる記事
