2の倍数…1の位の数が偶数。
3の倍数…各位の和が3の倍数。
4の倍数…下2桁の数が4の倍数。
5の倍数…1の位の数が0か5。
6の倍数…2の倍数かつ，3の倍数。
7の倍数…1の位から3桁ずつに区切った数を，順に足し引きした数が7の倍数。
8の倍数…下3桁が8の倍数。
9の倍数…各位の和が9の倍数。
10の倍数…1の位の数が0。
11の倍数
①1の位から2桁ずつに区切った時，その和が11の倍数。
②各位の数を順に足し引きした数が，11の倍数。
12の倍数…3の倍数かつ4の倍数。
結論が知りたい方が多いと思いますので，有名な見分け方の一覧を記しておきます。
よく，「倍数の見分け方はどこまで覚えた方がいいのか」という質問を受けますが，
全て覚える必要はまったくありません。
ただ，マーカーが引いてある内容は，受験に向けて覚えておくべき内容です。
はっきり言うと，「覚えていないと解けない」という問題はありません。
ただ，「覚えておくと速く解ける」という問題は多く存在します。
この記事では，マーカー部分の倍数判別法について，
見分け方を具体例を用いて解説していきます。
2の倍数の見分け方
２の倍数の条件は「1の位の数が偶数」です
問題
\(23658が2の倍数かどうか判別しなさい。\)
見分け方
\(23658\)の1の位の数は偶数なので，\(23658は２の倍数。\)
3の倍数の見分け方
3の倍数の条件は「各位の和が3の倍数である数は，3の倍数」です。
問題
\(365361が3の倍数かどうか判別しなさい。\)
見分け方
\(365361の各位の和を計算すると，\)
\(3+6+5+3+6+1=24\)
各位の和である24は3の倍数なので，
\(365361は3の倍数。\)
4の倍数の見分け方
4の倍数の条件は「下2桁の数が4の倍数である数は，4の倍数である」です。
問題
\(456556が4の倍数かどうか判別しなさい。\)
見分け方
\(456556\)の下２桁である56は４の倍数なので，
\(456556は4の倍数\)
5の倍数の見分け方
5の倍数の条件は「1の位の数が0か5である数は，5の倍数である」です。
問題
\(365352が5の倍数かどうか判別しなさい。\)
見分け方
\(179825\)の1の位は5なので，
\(179825は5の倍数\)
6の倍数の見分け方
6の倍数の条件は「2の倍数かつ，3の倍数」です。
つまり，「1の位の数が偶数」かつ「各位の和が3の倍数」
の場合は6の倍数ということになります。
問題
\(365352が6の倍数かどうか判別しなさい。\)
見分け方
\(365352の末尾は2の倍数。\)
\(各位の和を計算すると，\)
\(3+6+5+3+5+2＝24であり，3の倍数\)
\(よって，365352は\)2の倍数かつ3の倍数なので，
\(6の倍数。\)
9の倍数の見分け方
9の倍数の条件は「各位の和が9の倍数」です。
\(149301が9の倍数かどうか判別しなさい。\)
\(各位の和を計算すると，\)
\(1+4+9+3+0+1＝18\)
各位の和が9の倍数なので，\(149301は9の倍数。\)
10の倍数の見分け方
10の倍数の条件は「1の位の数が0」です。
問題
\(543210が10の倍数かどうか判別しなさい。\)
見分け方
\(543210\)の1の位は0なので，
\(543210は10の倍数\)
11の倍数の見分け方
11の倍数は，有名な見分け方が2通りありますが，
どちらか一方だけ覚えれば大丈夫です。
また，11の倍数については中学受験では必須ですが，
高校受験，大学受験では覚えなくても大丈夫です。
①1の位から2桁ずつに区切った時，その和が11の倍数。
②各位の数を順に足し引きした数が，11の倍数。
問題
\(384758が11の倍数かどうか判別しなさい。\)
見分け方①
「1の位から2桁ずつに区切った時，その和が11の倍数であれば11の倍数」
\(38+47+58＝143\)
143は11の倍数なので，\(384758は11の倍数。\)
見分け方②
「各位の数を順に足し引きした数が，11の倍数」
\(+3-8+4-7+5-8=-22\)
各位の和である-22は11の倍数なので，
\(384758は11の倍数。\)
役に立つ問題の例
倍数の見分け方を覚えていることで，
最も役に立つのは「数字の並べ替え問題」です。
(高校では順列といいます)
例えば，このような問題が出たとしましょう。
1,2,3,4,5の数字が書かれてカードを1枚ずつ用意します。
このカードから3枚を選んで3桁の数字を作るとき，
3の倍数は何通り作れるか書きなさい。
3の倍数になる条件は「各位の和が3の倍数」なので，
まずは和が3の倍数になる組み合わせを探す。
↓
「1,2,3」「2,3,4」「3,4,5」「1,3,5」の時，和が3の倍数になる。
↓
仮に「1,2,3」の数字を選んだときは，
「123」「231」「312」「321」「132」「213」
の6通りの数字を作ることができる。
↓
「2,3,4」「3,4,5」「1,3,5」についても，
それぞれ6通りの数字を作ることができるので，
答えは24通り。
全ての数字(今回は60通り)について，3で割れるかを
1つ1つ確認する必要があります。
倍数になる条件を覚えておいたほうが速くて正確でしょう。
倍数の条件を暗記する以外にはありません。
さいごに
「なぜこのようなことが成り立つのか」という証明までできることが理想です。
しかし，それと同じくらいに
「倍数の見分け方を覚えて，何の倍数かを即時に判断をする」ことや
「倍数になる条件から逆算して，求められている数字を作る」ということも重要です。
最後に，冒頭の画像で載せた\(360360\)という数字ですが，
2～12すべての倍数です！
\(360360\)が本当に2～12の倍数かどうか，
本記事で紹介した内容をもとに，是非確かめてみてください。