比は文章題や図形などいろいろな単元で使われることは一度お伝えしました。
今回は、実際に問題を解く際に使用する、□の求め方をお伝えします。
では、デンヘキ先生とのびーたさんの授業を見ていきましょう。
□を求める方法は３通り
今回は比を使った□の求め方をやっていくよ。
比を使った□？
□に入る数字を求めよ。
□に入る数字は何だと思う？
うーん……
３：４ってもう同じ数で割れないから、９：□を簡単にしたら３：４になるってことかなぁ？
お、いい考え方だね。その通りだよ。
それを使っていくとできるぞ。
なんか、わかりそうでわからないです……
じゃあ、今回はこのやり方を説明するんだけど……
実はやり方は全部で３つあるんだ。
えっ、３つもあるんですか？大変だぁ……
まぁ、そう言わずに慣れればそうでもないから。
さっきの問題は３つのやり方を全部説明してから、最後に答え合わせをしよう！
いま、教えてくれてもいいのに……
まあ、そう言わないでよ。
まずは３つのやり方を簡単に言うと、
①右から右、左から左へ同じ数をかけたり、わったりして求める
②１つの比の中で何倍か考える
③内側同士と外側同士をかけたら同じ数字になることを利用して求める
の３つなんだ。
……どこが簡単なんですか？
冷静なツッコミだね（笑）
でも、確かに文字だけだと何を言っているかわかりづらいね。
１つずつやり方を見ていこう！
①右から右、左から左へ同じ数をかけて求める
さあ、まずは問題を見てみよう。
□に入る数字を求めよ。
この問題をどう解いていくかっていう話なんだけど……
今回の右から右、左から左っていうのは、それぞれの比の場所だと思ってほしいんだ。
うん。
今回は「７：３」っていう比と、「４９：□」っていう比の２つの比があるよね。
７：３の左側の数字と４９：□の左側の数字をそれぞれ見てみよう。
そう！そういうことだよ。
じゃあ、７から４９まで何倍しているかわかるかな？
ＯＫ！
今度は、それぞれの右側の数字に注目してみよう。
そうだね。そして、左側は７倍しているってわかったよね。
実は、左側が７倍だったら、右側も７倍しているんだ。
えっと、じゃあ３を７倍して、
３×７＝２１
だから、□＝２１っていうことですか？
完璧！！それでやり方はバッチリだよ。
□に入る数字を求めよ。
答え □＝２１
最初の「右から右、左から左へ同じ数をかけたり、わったりして求める」の意味は分かったかな？
２つの比の右側の数字と左側の数字に注目して、何倍かがわかれば解けるんですね。
そういうこと。
問題を３つ出してみるから、練習していこうか。
□を求めよ
さあ、まずは、さっきとほとんど同じ問題だよ。
どうすればいいかな？
えっと……
それぞれの左側を見てみると、２と１２で６倍しているから、左側も６倍のはず。
だから、３を６倍して、
３×６＝１８
□＝１８です！
うん、完璧。すごいじゃん！！
じゃあ、その調子で次の問題もやってみよう！
□を求めよ
答え □＝１８
問題 ３：５＝□：４５
□に入る数字を求めよ
本当に少しだけ変えた問題。
何が変わったかわかるかな？
でも、考え方は一緒だよ。どうすればいいかな？
一緒の考え方ってことは、今度は右側の数字を見ればいいのかな？
右側の数字は５と４５だから、５から４５までは９倍。
左側の数字の３も９倍になるはずだから、
３×９＝２７
□＝２７
かな？
お、バッチリだね！
□に入る数字を求めよ
答え □＝２７
わり算？
□に入る数字を求めよ
だから、３２も２倍？あれ？なんかおかしいな……
このやり方に注意してほしいのは、矢印の方向なんだ。
「矢印は同じ方向」を必ず守ろうね。
わかりました。……でも、それだとこの問題はどうすればいいのかな？
わり算……？
うん、矢印が同じになるように、１２から６にするにはどうすればいいか考えてごらん？
えっと、１２から６にするには……
あ！１２を÷２すれば６になる。
そう！それを使うんだよ。
左側を÷２しているから、右側の３２も÷２すればいいんだ。
３２÷２＝１６
□＝１６
ですね！？
かけ算でもわり算でもいいの意味も分かったみたいだね。
□に入る数字を求めよ
答え □＝１６
やり方がわかってきました。
よかった。
じゃあ、最後に少しだけ応用問題をやってこのやり方の説明を終わりにしよう。
□に入る数字を求めよ
うぅ、分数が入ってきた……
分数が入ってきたからってそんなに困らなくて大丈夫。
まずは、８：１２を簡単にできるからやってみよう。
※簡単にする方法はこちらから
８：１２を簡単にですか？
えっと……どちらも４で割れるから
８÷４＝２、１２÷４＝３だから
８：１２＝２：３
ですか？
そうだね。
この２：３と\(\displaystyle\frac{２}{５}\)：□を見てみよう。
左側の２と\(\displaystyle\frac{２}{５}\)を見てみると、２に\(\displaystyle\frac{ }{５}\)をつけたら\(\displaystyle\frac{２}{５}\)になるよね？
□に入る数字を求めよ
答え □＝\(\displaystyle\frac{３}{５}\)
じゃあ、このやり方はここまでにして、次のやり方を見てみよう。
１つの比のなかで何倍か考える
□に入る数字を求めよ
えっと、２から５まで何倍か考えればいいから……
だけど、それだと分数になって大変だろ？
左から右、３から１２まで何倍になっているかな？
１２÷３＝４
だから４倍です。
等しい比の場合、この何倍というのはどちらも同じになるんだ。
５：□のほうでも、左から右へは４倍ってことですか？
□＝２０です！
□に入る数字を求めよ
答え □＝２０
□に入る数字を求めよ
わかりました！
２０÷４＝５
だから、比の中で５倍です。
７：□の中でも５倍になるから、
７×５＝３５
なので、
□＝３５
です。
□に入る数字を求めよ
答え □＝３５
□に入る数字を求めよ
今度は４：８の中で考えればいいんですよね？
８÷４＝２
だから、比の中で２倍！
□：６の中でも２倍になるから……
あれ？
考え方の方向性は合っているけど、うまくできなさそうだね。
どうしようか。
４から８じゃなくて、８から４で考えればいいんだ。
比の中で右から左、８から４へは÷２しているって考えればいいんだ！
□：６の中でも同じよう右から左へ÷２になるはずだから、
６÷２＝３で、
□＝３
ですね！？
□に入る数字を求めよ
答え □＝３
別のところで習ったことを使えないか考えるとできることもあるからね。
じゃあ、応用問題。
その考え方ができるなら応用問題でもできるんじゃないかな。
□に入る数字を求めよ
さっきも分数があるときの考え方をやっただろう？
えっと、整数と分子の数字が同じだから、分母をつけて考えたんだっけ。
□＝\(\displaystyle\frac{６}{７}\)
ですか？
□に入る数字を求めよ
答え □＝\(\displaystyle\frac{６}{７}\)
内側同士と外側同士をかけたら同じ数字になることを利用して求める
□に入る数字を求めよ
「２：７＝８：□」っていうのは、真ん中に「＝」があるよね？
この＝に近いのが内側、遠いのが外側だよ。
「＝」から見ると、７と８が内側にあるってことですね？
うん、よくわかったね。
この内側同士の７と８、外側同士の２と□それぞれのかけ算の結果が同じになるという性質が比にはあるんだ。
要するに、７×８と２×□が同じってこと。
□＝２８
ですか？
よくできたね。
□に入る数字を求めよ
答え □＝２８
□に入る数字を求めよ
１２×６＝７２だから、
９×□＝７２になって、
７２÷９＝８
□＝８
です！
どれが一番簡単？
う～ん……わからないです。
ただ、慣れている人や、先生みたいな人でもどれが一番って言えないんじゃないかな。
わざわざ難しいやり方を教える必要もないし、それをやる必要もないじゃないか。
だから、どれが一番いいのか問題ごとに見極められるようになってほしいんだ。
計算ミスもしにくいんだ。
ただ残念なのは、何倍かすぐにわかることは、多くないんだよ。
でも、③のやり方はそういうことがあまりないんだ。
だからさっき「最終兵器」って言ったんだ。
そういう問題で③のやり方でやると、時間もかかるし、ミスも起こしやすいと思うかな。
さっき言ったようにできないような問題はないから。
ただ、理想を言えば、全部できるようになること。
例えば、最初の問題なんだけど……３種類のやり方でやってみると下のようになる。
□に入る数字を求めよ。
答え □＝１２
でも、②は正直やりたくないなぁ。
③は作業が多いような気がします。
これは人によって感想が変わってくるから、どれが一番いいっていうのは自分で決めて大丈夫。
だから練習するときはやり方を覚えることはもちろん、どのやり方が一番いいと思うかまで考えてあげるといいね。
確かにそうかもしれないね。
でも、本当に一番いいと思うやり方が選べるようになると、問題を解くときにも役に立つことがあるから頑張ろう！
今回、比の□を求めるやり方を伝えてきました。
さて、デンヘキ先生が言っていたように、３通りのやり方で一番簡単なのを求められるようになってほしいと思います。
３種類、理解していると進学後の学習にもつながってきます。
先にもつながる学習を心がけてほしいと思います。