倍数の証明の基本
「〇〇は△の倍数である」という証明は，
以下の形に表せれば完了です。
〇〇＝△×(整数)
例えば，「Aは3の倍数である」という証明は
A＝3×(整数)
という形にできれば，証明完了ということです。
2の倍数になる数の証明
「1の位の数が2の倍数である数は，2の倍数である」
ということを証明していきます。
(1の位の数が2の倍数である数)＝2×(整数)
を証明できれば良いということになります。
問題
\( eが偶数の時，\)
\( 5桁の数 abcde が2の倍数であることを証明せよ。\)
証明
\( eは偶数なので，e＝2n(nは整数)とする。\)
\begin{align}
abcde & = 10000a+1000b+100c+10d+e \\
& = 10000a+1000b+100c+10d+2n \\
& = 2(5000a+500b+50c+5d+n) \\
\end{align}\((5000a+500b+50c+5d+n)は整数なので，\)
\(2(5000a+500b+50c+5d+n)は2の倍数となる。\)
\(よって，eが偶数の時，5桁の数 abcde は2の倍数である。\)
3の倍数になる数の証明
「各位の和が3の倍数である数は，3の倍数である」
ということを証明していきます。
(各位の和が3の倍数である数)＝3×(整数)
を証明できれば良いということになります。
問題
\(各位の和が3の倍数の時，\)
\(5桁の数abcdeが3の倍数であることを証明せよ。\)
証明
\( a+b+c+d+eの値は3の倍数なので，\)
\( a+b+c+d+e＝3n(nは整数)とする\)。
\begin{align}
abcde & = 10000a+1000b+100c+10d+e \\
& = (9999a+a)+(999b+b)+(99c+c)+(9d+d)+e \\
& = 9999a+999b+99c+9d+a+b+c+d+e \\
& = 9999a+999b+99c+9d+3n \\
& = 3(3333a+333b+33c+3d+n)\\
\end{align}\((3333a+333b+33c+3d+n)は整数なので，\)
\( 3(3333a+333b+33c+3d+n)は3の倍数となる。\)
\(よって，各位の和が3の倍数の時，\)
\(5桁の数abcdeは3の倍数である。\)
4の倍数になる数の証明
「下2桁の数が4の倍数である数は，4の倍数である」
ということを証明していきます。
(下2桁の数が4の倍数である数)＝4×(整数)
を証明できれば良いということになります。
問題
\(2桁の数deが4の倍数の時，\)
\(5桁の数abcdeが4の倍数であることを証明せよ。\)
証明
\( 下2桁が4の倍数なので，\)
\( 10d+e＝4n(nは整数)とする。\)
\begin{align}
abcde & = 10000a+1000b+100c+10d+e \\
& = 10000a+1000b+100c+4n \\
& = 4(2500a+250b+25c+n) \\
\end{align}\((2500a+250b+25c+n)は整数なので，\)
\( 4(2500a+250b+25c+n)は4の倍数となる。\)
\(よって，2桁の数deが4の倍数の時，\)
\(5桁の数abcdeは4の倍数である。\)
5の倍数になる数の証明
「1の位の数が0か5である数は，5の倍数である」
ということを証明していきます。
(1の位の数が0か5である数)＝5×(整数)
を証明できれば良いということになります。
問題
\(eの値が0または5の時，\)
\(5桁の数abcdeが5の倍数であることを証明せよ。\)
証明
\( Ⅰ e＝0の場合\)
\begin{align}
abcde & = 10000a+1000b+100c+10d+0 \\
& = 10000a+1000b+100c+10d \\
& = 5(2000a+200b+20c+2d) \\
\end{align}\((2000a+200b+20c+2d)は整数なので，\)
\( 5(2000a+200b+20c+2d)は5の倍数となるため，\)
\( abcdeは5の倍数。…①\)
\( Ⅱ e＝5の場合\)
\begin{align}
abcde & = 10000a+1000b+100c+10d+5 \\
& = 5(2000a+200b+20c+2d+1) \\
\end{align}\((2000a+200b+20c+2d+1)は整数なので，\)
\( 5(2000a+200b+20c+2d+1)は5の倍数となるため，\)
\( abcdeは5の倍数。…②\)
\(①②より，eの値が0または5の時，\)
\(5桁の数abcdeが5の倍数である。\)
6の倍数になる数の証明
「2の倍数かつ3の倍数ある数は，6の倍数である」
ということを証明していきます。
(2の倍数かつ3の倍数ある数)＝6×(整数)
を証明できれば良いということになります。
6の倍数の証明は，5桁の数を使わずに証明します。
問題
\(xが2の倍数かつ3の倍数の時，\)
\(xが6の倍数であることを証明せよ。\)
証明
\( xは2の倍数なので，x=2m(mは整数)とする。…①\)
\( xは3の倍数なので，x=3n(nは整数)とする…②\)
\( ①の式を3倍，②の式を2倍し，差を計算。\)
\begin{array}{rrrr}
&3x &= & 6m&\\
-\large{)}&2x& = & 6n&\\
\hline
& x & = & 6m&-6n=6(m-n)
\end{array}\((m-n)は整数なので，\)
\( 6(m-n)は6の倍数となるため，\)
\( xは6の倍数。\)
\(よって，2の倍数かつ3の倍数ある数は6の倍数である。\)
8の倍数になる数の証明
「下3桁の数が8の倍数である数は，8の倍数である」
ということを証明していきます。
(下3桁の数が8の倍数である数)＝8×(整数)
を証明できれば良いということになります。
問題
\(3桁の数cdeが8の倍数の時，\)
\(5桁の数abcdeが8の倍数であることを証明せよ。\)
証明
\( 下3桁が8の倍数なので，\)
\( 100c+10d+e＝8n(nは整数)\)とする。
\begin{align}
abcde & = 10000a+1000b+100c+10d+e \\
& = 10000a+1000b+8n \\
& = 8(1250a+125b+n) \\
\end{align}\((1250a+125b+n))は整数なので，\)
\( 8(1250a+125b+n)は8の倍数となる。\)
\(よって，下3桁の数が8の倍数である時，\)
\(8桁の数abcdeは8の倍数である。\)
9の倍数になる数の証明
「各位の和が9の倍数である数は，9の倍数である」
ということを証明していきます。
(各位の和が9の倍数である数)＝9×(整数)
を証明できれば良いということになります。
問題
\(各位の和が9の倍数の時，\)
\(5桁の数abcdeが9の倍数であることを証明せよ。\)
証明
\( 各位の和が9の倍数なので，\)
\( a+b+c+d+e＝9n(nは整数)とする\)。
\begin{align}
abcde & = 10000a+1000b+100c+10d+e \\
& = (9999a+a)+(999b+b)+(99c+c)+(9d+d)+e \\
& = 9999a+999b+99c+9d+a+b+c+d+e \\
& = 9999a+999b+99c+9d+9n \\
& = 9(1111a+111b+11c+d+n)\\
\end{align}\((1111a+111b+11c+d+n)は整数なので，\)
\( 9(1111a+111b+11c+d+n)は9の倍数となる。\)
\(よって，各位の和が9の倍数の時，\)
\(5桁の数abcdeは9の倍数である。\)
10の倍数になる数の証明
「1の位の数が0である数は，10の倍数である」
ということを証明していきます。
(1の位の数が0である数)＝10×(整数)
を証明できれば良いということになります。
問題
\(1の位が0である5桁の数abcd0が10の倍数であることを証明せよ。\)
証明
\begin{align}
abcde & = 10000a+1000b+100c+10d+0 \\
& = 10000a+1000b+100c+10d \\
& = 10(1000a+100b+10c+d) \\
\end{align}\((1000a+100b+10c+d)は整数なので，\)
\( 10(1000a+100b+10c+d)は10の倍数である。\)
\(よって，1の位の数が0である数abcd0が10の倍数である。\)