反比例のaはなぜ”比例定数”というのか

先日，こんな質問をされました。

「比例の式(\( y=ax \))の\( a\)は，比例の定数だから比例定数ですよね？
反比例(\( y= \displaystyle\frac{a}{x}\ \))の\( a\)は，なぜ比例定数というんですか？」

「反比例は比例ではないのだから，比例定数ではなく反比例定数と呼ぶべきでは？」

反比例定数という未知の用語は置くとして，
今回は比例定数について書いていきたいと思います。

比例定数とは

比例の式を\( y＝ax\)という形で表したとき
「\( y\)は\( x\)に比例する」といい，\( a\)の部分のことを比例定数といいます。

比例の式の\( a\)の部分を「比例の基準となる値」という意味で
比例定数と呼んでいるわけですね。

では反比例の式はどうでしょうか。

反比例の式(\( y= \displaystyle\frac{a}{x}\ \))は

\( y=a× \displaystyle\frac{1}{x}\ \)という比例の形に変形することができます。

この時は「\( y\)は\( \displaystyle\frac{1}{x}\ \)に比例する」といい，
先ほどと同じく\( a\)の部分のことを比例定数といいます。

数式だけだとわかりにくいので，具体例を用いてみます。

比例の比例定数

比例とは「一方の値が２倍，3倍になると，もう一方の値も２倍，３倍になる」
という関係のことを言います。

例えば，変数\( x\)と変数\( y\)の関係が以下の表のような関係だったとします。

\( x\)の値が2倍，3倍になると，
\( y\)の値も2倍，3倍になっているので，
比例の関係だとわかりますね。

ここで，\( y\)と\( x\)の関係を見てみると，
\( y\)は\( x\)の2倍の値なので，
\( y＝2x\)と表すことができます。

比例の式に表すことができたので，比例定数は2となります。

反比例の比例定数

では次に，反比例の関係を見ていきましょう。

反比例とは，
「一方の値が２倍，3倍になると，もう一方の値が\( \displaystyle\frac{1}{2}\ \)倍，\( \displaystyle\frac{1}{3}\ \)倍になる」
という関係のことを言います。

このままだと\( y＝ax\)の形に表すことができないので，
中間に\( \displaystyle\frac{1}{x}\ \)を追加します。

表の値の位置を少し入れ替えます。

\( \displaystyle\frac{1}{x}\ \)と\( y\)の関係を見てみます。

\( y\)と\(  \displaystyle\frac{1}{x}\ \)が比例の関係であり，
式で表すと\(y=24×  \displaystyle\frac{1}{x}\ \)と表すことができます。

比例の式に表すことができたので，比例定数は24となります。

最後に

ついでなので調べてみたところ，文部科学省HPに以下のような記載がありました。

出典：文部科学省　中学校学習指導要領解説　【数学編】中学校学習指導要領（平成29年告示）解説　(2022/4/15閲覧)

細かい内容もしっかり書いてくれているんですね。

こういう言い方だと元も子もありませんが
「国が決めた(認めた？)から反比例の\( a\)も比例定数だよ！」
という言い方もできますね。

まぁ仮にも数学をかじっている身としては絶対に言いませんが(笑)